Percorso guidato

Corso attuariale completo

Versione unica in formato web del corso completo di attuario.eu: teoria, riserve, finanza, normativa, esercizi, strumenti e percorsi professionali.

📖 Sezione 1 – Teoria attuariale

Parte 1: Tavole di mortalità e valori attuariali

La teoria attuariale fornisce il linguaggio matematico per valutare contratti assicurativi e previdenziali. Si parte dalle tavole di mortalità, dalle funzioni di sopravvivenza e dalle funzioni di commutazione che permettono di ricondurre il valore atteso delle prestazioni assicurate.

📊 Tavole di mortalità

Ogni tavola descrive l’evoluzione di una coorte ipotetica di assicurati.

Simboli principali
  • lₓ: numero di sopravviventi all’età x
  • qₓ: probabilità di decesso tra x e x + 1
  • pₓ = 1 - qₓ: probabilità di sopravvivenza
Relazioni chiave
l(x + 1) = l(x) · pₓ │ dₓ = l(x) · qₓ

📉 Forza di mortalità

La forza istantanea di mortalità misura l’intensità di decesso a età continua.

μ(x) = − d/dx [ln ℓ(x)]

In forma integrale:

ℓ(x) = ℓ(0) · exp(−∫₀ˣ μ(t) dt)

💸 Valori attuariali fondamentali

  1. Capitale assicurativo temporaneo. Prestazione unitaria in caso di decesso entron anni.
    Aₓ⁽ⁿ⁾ = Σ_{k=0}^{n-1} v^(k+1) · pₓ(k) · q_{x+k}
  2. Rendita temporanea annua. Pagamenti ricorrenti per n anni.
    a̅ₙ|ₓ = Σ_{k=1}^{n} v^k · pₓ(k)

🔄 Funzioni di commutazione

Le funzioni di commutazione semplificano i calcoli di premio e riserva.

  • Dₓ = lₓ · vˣ
  • Nₓ = Σ_{k=x}^{∞} D_k
  • Sₓ = Σ_{k=x}^{∞} N_k

💰 Premi attuariali

  • Premio puro unico:
    P = Aₓ
  • Premio annuo costante per n anni:
    P = Aₓ / a̅ₙ|ₓ

🧠 Esempio pratico

Dati: x = 30, n = 10, q₃₀ = 0,0012,i = 2%.

v = 1 / (1 + 0,02) = 0,98039 ea̅₁₀|₃₀ ≈ Σ_{k=1}^{10} 0,98039^k · p₃₀(k).

Parte 2: Riserve, bilancio tecnico e modelli multi-stato

🧾 Riserve attuariali

Le riserve rappresentano gli accantonamenti a garanzia degli impegni verso gli assicurati.

1. Riserva matematica prospettica
Vₜ = A_{x+t} − P · a̅ₙ₋ₜ|_{x+t}
2. Riserva retrospettiva
Vₜ = P · s̅ₜ|ₓ − prestazioni attualizzate
Equazione ricorrente
V_{t+1} = (Vₜ + P) · (1 + i) − B_{t+1} · q_{x+t}

📊 Bilancio tecnico attuariale

Il bilancio proietta entrate, rendimento tecnico e variazione delle riserve.

Entrate + Rendimento = Uscite + ΔRiserve

🔁 Modelli multi-stato

Stati: S (sano), I (invalido),D (deceduto).

P(t) = | P_SS  P_SI  P_SD ; 0  P_II  P_ID ; 0  0  1 |

📘 Esempio applicativo

Parametri: x = 40, n = 20,P = 450, B = 10.000, i = 2%.

A₄₀⁽²⁰⁾ = Σ_{k=0}^{19} v^(k+1) · p₄₀(k) · q_{40+k}
a̅₂₀|₄₀ = Σ_{k=1}^{20} v^k · p₄₀(k)
V₀ = B · A₄₀⁽²⁰⁾ − P · a̅₂₀|₄₀

📖 Sezione 2 – Finanza attuariale

Parte 3: Tassi, rendite, ALM e derivati assicurativi

La finanza attuariale integra concetti di matematica finanziaria con la gestione delle passività assicurative.

📈 Tassi d’interesse

  • Nominale (j): capitalizzazione m-esima.
  • Tasso effettivo (i): i = (1 + j / m)^m − 1
  • Tasso continuo (δ): δ = ln(1 + i) con v = e^{−δ}

Attualizzazione di un flusso: v = 1 / (1 + i),PV = C · v^t.

💸 Rendite

  • Posticipata temporanea:
    a̅ₙ = (1 − vⁿ) / i
  • Perpetua:
    a̅∞ = 1 / i
  • Anticipata:
    ä̅ₙ = a̅ₙ · (1 + i)
  • Rendita frazionata (m rate/anno):
    a̅ₙ^(m) = (1 − vⁿ) / i^(m) con i^(m) = m[(1 + i)^{1/m} − 1]

🧠 Modelli stocastici sui tassi

  • Vasicek:
    drₜ = a(b − rₜ) dt + σ dWₜ
  • Cox–Ingersoll–Ross:
    drₜ = a(b − rₜ) dt + σ√rₜ dWₜ

Utilizzi: pricing di garanzie, simulazioni stocastiche e Asset Liability Management.

📊 Asset Liability Management

Obiettivo: allineare attivi e passivi riducendo la volatilità del margine tecnico.

  • Matching: selezionare attivi con flussi coerenti con i passivi.
  • Immunizzazione: minimizzare l’impatto delle variazioni di tasso.

Indicatore chiave: durata di Macaulay D = (Σ t · PV_t) / (Σ PV_t) e relativa convessità.

⚙️ Derivati assicurativi

  • Garanzie GAO e GMxB.
  • Total Return Swap su portafogli a copertura delle riserve.

La valutazione integra modelli di mercato e proiezioni di longevità.

💻 Esempio numerico

Rendita di €1.000 annui per 10 anni con i = 3%.

a̅₁₀ = [1 − (1,03)^{-10}] / 0,03 ≈ 8,53

📖 Sezione 3 – Normativa e regolamentazione

Parte 4: IFRS 17, Solvency II e normativa attuariale

Il quadro normativo disciplina criteri valutativi, capitale richiesto e informativa verso il mercato.

📘 IFRS 17 – Contratti assicurativi

Struttura della passività:

  • BEL – Best Estimate Liability.
  • RA – Risk Adjustment.
  • CSM – Contractual Service Margin.
Passività = BEL + RA + CSM

Approcci: General Measurement Model, Premium Allocation Approach, Variable Fee Approach.

🧮 Solvency II – Adeguatezza patrimoniale

  • SCR – Solvency Capital Requirement al 99,5%.
  • MCR – Minimum Capital Requirement.
  • Technical Provisions = BEL + Risk Margin.
RM = CoC · Σ_{t=1}^{T} [SCRₜ / (1 + r)^t]

🧷 Confronto IFRS 17 vs Solvency II

AspettoIFRS 17Solvency II
FinalitàBilancio e trasparenzaSolidità patrimoniale
MargineContractual Service MarginRisk Margin esplicito
ScopeContratti assicurativiTutti i rischi e passività

⚖️ Normativa italiana – IVASS

  • Regolamento 22/2008 – Attuario incaricato.
  • Provvedimento 114/2023 – Bilancio IFRS 17.
  • Regolamento 50/2022 – Governance e ORSA.

📖 Sezione 4 – Casi pratici ed esercizi

Parte 5: Esempi numerici, esercizi spiegati e simulazioni

  1. Esercizio 1 – Premio puro. Età 40, capitale €100.000, durata 10 anni, tasso 2%.
    P = A₄₀⁽¹⁰⁾ · 100.000
  2. Esercizio 2 – Riserva prospettica.
    V₅ = A₄₅⁽⁵⁾ · 100.000 − P · a̅₅|₄₅
  3. Esercizio 3 – Tasso implicito di rendita.
    [1 − (1 + i)^{-10}] / i = 8,53 ⇒ i ≈ 3%
  4. Esercizio 4 – Bilancio tecnico. Contributi €1.200.000, prestazioni €900.000, riserve iniziali €5.000.000, rendimento 2%.

    Entrate totali = 1.200.000 + 0,02 × 5.000.000 = 1.300.000. Uscite = 900.000. Variazione = +400.000.

  5. Esercizio 5 – Riscatto. Valore di riscatto a t = 5 pari a €4.000 su premio €5.000.
    (1 + i)^5 = 1,25 ⇒ i ≈ 4,56%

📖 Sezione 5 – Strumenti & codici attuariali

Parte 6: Python, R, Excel e tool online

🐍 Python

def rendita_temporanea(n, i):
    v = 1 / (1 + i)
    return sum(v**k for k in range(1, n + 1))

def premio_puro(qx_list, i, capitale=100000):
    v = 1 / (1 + i)
    return capitale * sum(v**(k + 1) * qx for k, qx in enumerate(qx_list))

📊 Excel

Funzioni utili: =NPV, =IRR, formule di attualizzazione con 1/(1+i)^n.

Template consigliato con colonne: Età, qₓ, lₓ, dₓ, pₓ, v^t, v^t · pₓ.

📐 R

Pacchetti: lifecontingencies, actuar. Esempio: Axt(soa08, x = 40, n = 10, i = 0.02).

🌐 Calcolatori online

  • OpenActTexts Tools.
  • Mortality Table Explorer.
  • Excel Tools – Life Contingencies.
  • Actuview (video e tutorial).

🧾 Esempio combinato – Riserva in Python

def riserva_attuariale(P, qx_list, i):
    v = 1 / (1 + i)
    premi = P * sum(v**(k + 1) for k in range(len(qx_list)))
    prestazioni = sum(v**(k + 1) * qx_list[k] * 100000 for k in range(len(qx_list)))
    return prestazioni - premi

📖 Sezione 6 – Glossario attuariale

Parte 7: Termini tecnici, definizioni e formule

  • Aₓ⁽ⁿ⁾: capitale assicurativo temporaneo
  • BEL: Best Estimate Liability
  • Convessità / Durata: sensibilità ai tassi di interesse
  • Forza di mortalità μ(x): intensità istantanea di decesso
  • lₓ, qₓ, pₓ: grandezze base delle tavole di mortalità
  • Premio puro: valore atteso della prestazione
  • Riserva: accantonamento tecnico
  • SCR: Solvency Capital Requirement
  • Tasso tecnico: tasso di attualizzazione utilizzato nei calcoli
  • v: fattore di attualizzazione

📖 Sezione 7 – Percorso formativo attuario

Parte 8: Studi, esame di Stato, carriera

🎓 Formazione

  • Laurea triennale in discipline quantitative.
  • Laurea magistrale in scienze attuariali o statistica attuariale.

🧪 Esame di Stato

  • Prova scritta 1: matematica attuariale, finanza, statistica.
  • Prova scritta 2: bilancio tecnico, riserve, normativa.
  • Prova orale interdisciplinare con deontologia professionale.

🏛️ Iscrizione all’Albo

Sezione A dell’Albo gestita dal Consiglio Nazionale degli Attuari.

💼 Carriera

Ambiti: assicurazioni, previdenza, consulenza, risk management, vigilanza.

Ruoli: pricing, reserving, valuation, ALM, attuario incaricato.

🧾 Formazione continua

Obbligo di 60 crediti formativi triennali tra corsi online, seminari e master.

📖 Sezione 8 – News, risorse & link utili

Aggiornamenti normativi, eventi, pubblicazioni specialistiche e occasioni di networking utili alla comunità attuariale.

  • Ordine degli Attuari.
  • EIOPA.
  • SOA Mortality Tables.
  • Actuview.

📖 Sezione 9 – Bibliografia e risorse

  • Bowers, Gerber, Hickman, Jones, Nesbitt – Actuarial Mathematics.
  • Baxter & Rennie – Financial Calculus.
  • Documentazione EIOPA, IASB e IVASS.
  • Paper accademici open access e materiali universitari.