Opzioni europee

Calcolatore Black–Scholes

Stima prezzi teorici e greche di opzioni europee Call/Put assumendo moto browniano geometrico, utili per il risk management di prodotti unit-linked con garanzie.

Black–Scholes: prezzo e greche

Calcola prezzo teorico e sensibilità di opzioni europee assumendo volatilità costante e mercato privo di arbitraggio. Le greche sono espresse per unità di sottostante, con Theta riportato su base giornaliera.

Prezzi

Call: 8.9160

Put: 6.9359

Greche Call

Δ: 0.5793

Γ: 0.019552

Vega: 39.1043

Θ (giornaliero): -0.0134

ρ: 49.0099

Greche Put

Δ: -0.4207

Γ: 0.019552

Vega: 39.1043

Θ (giornaliero): -0.0080

ρ: -49.0099

Livello avanzato
PythonR

Ipotesi utilizzate

  • Prezzo del sottostante che segue un moto browniano geometrico con volatilità costante.
  • Mercato perfetto: assenza di arbitraggio, possibilità di copertura continua e tassi risk-free costanti.
  • Nessun dividendo durante la vita dell'opzione (o dividendo continuo espresso tramite yield).

Fonti accademiche

  • Black & Scholes (1973) — The Pricing of Options and Corporate Liabilities

    Articolo fondativo con la derivazione PDE e soluzione chiusa per opzioni europee.

    Consulta la fonte
  • Merton (1973) — Theory of Rational Option Pricing

    Estende il framework a dividendi, opzioni americane e strutture di tasso variabile.

    Consulta la fonte

Limiti e ambiti di validità

  • Adeguato per opzioni europee su sottostanti liquidi; per prodotti strutturati vita occorre includere barriere e discrepanze di volatilità implicita.
  • Sensibile alle stime di volatilità: confrontare implied vs historical e documentare la scelta.

Collegamenti teoria ↔ pratica ↔ normativa

  • Teoria

    Soluzione della PDE di Black–Scholes e legame con il martingala risk-neutral descritto in Björk (2009). Approfondisci

  • Pratica

    Utile per calcolare le greche da inserire nel reporting ORSA su prodotti unit-linked con garanzie finanziarie.

  • Normativa

    Supporta le analisi richieste da Solvency II per il modulo Market Risk – sub-module Equity e SCR per opzioni e garanzie. Approfondisci

Utilizzo pratico delle greche

Delta e gamma aiutano a dimensionare le strategie di copertura dinamica in portafogli con garanzie finanziarie, mentre vega e theta supportano la definizione dei limiti di esposizione in policy ORSA. Documenta le ipotesi adottate nelle note metodologiche per la Funzione Risk Management.

I risultati possono essere confrontati con le misure di sensibilità richieste dall’IFRS 17 per le garanzie finanziarie e dai QRT Solvency II (S.06.03) per verificare coerenza tra pricing e capital management.

Approfondimenti consigliati

  • Manuale Derivative Markets di McDonald per esempi numerici sulle strategie di copertura delta-gamma.
  • Linee guida IVASS sulla valutazione delle opzioni finanziarie nelle imprese di assicurazione vita.
  • Materiali EIOPA sul trattamento delle garanzie finanziarie nei modelli interni parziali.